Տրամաբանական սխալները մաթեմատիկայում

[Լիլիթ Հակոբջանյան]

Իմաստակություն,Սոփեստություն, սոֆիզմ (հին հուն․՝ σοφιστής, σόφισμα - հմտություն, խորամանկություն, հորինվածք), հին հունական որոշ մտածողների (Եվբուլիդես, սոփեստներ) կառուցած (նմանողությամբ մինչև այժմ էլ կառուցվող) հատուկ կարգի կշռադատություններ, որոնց մեջ առկա է թաքնված տրամաբանական սխալ, և առերևույթ բխում են կանխահայտորեն կեղծ կամ հակասական մտքեր։ Օրինակ՝ «Դու ունես այն, ինչ չես կորցրել, դու եղջյուրներ չես կորցրել, հետևաբար, դու եղջյուրներ ունես» (Եվբուլիդեսի «Եղջյուրավոր» սոփեստություն), «Ուսանողը որքան շատ է պարապում, այնքան շատ է իմանում, որքան շատ է իմանում, այնքան շատ է մոռանում, որքան շատ է մոռանում, այնքան քիչ է իմանում, հետևաբար, որքան շատ է պարապում, այնքան քիչ է իմանում», կամ՝ «․․․որքան շատ է իմանում, այնքան քիչ է իմանում» (ժամանակակից սոփեստություն)։

Մաթեմատիկական սոփեստություն
https://youtu.be/N7SSVQtGQvk

[Լիլիթ Հակոբջանյան]

Հատուկ վերլուծությամբ միշտ էլ կարելի է ցույց տալ սոփեստության տրամաբանական սխալը՝ մեծ մասամբ հասկացությունների գաղտնափոխում բառերի բազմիմաստության չարաշահումով («Եղջյուրավոր» սոփեստության մեջ չկորցնելը մի դեպքում ըմբռնվում է ունեցածը չկորցնելու, մյուս դեպքում՝ առհասարակ, այդ թվում չունեցածը չկորցնելու իմաստով)։ Արիստոտելը սոփեստությունները անվանում էր կարծեցյալ ապացուցումներ և հատուկ աշխատություն է նվիրել դրանց հերքմանը։ Սոփեստությունը պարադոքսից, ապորիայից, անտինոմիայից տարբերվում է նրանով, որ վերջիններիս մեջ առկա է իրական տրամաբանական դժվարություն, մինչդեռ սոփեստության մեջ տրամաբանական դժվարությունը թվացող է։

Հետաքրքիր տեսանյութ լի մաթեմատիկական հնարքներով

https://youtu.be/UxQ82tFGAVc

[naramartirosyan]

Հետաքրքիր թեմա եք առաջարկել, հարգելի՛ ԼԻԼԻԹ: Այստեղ կարծում եմ կարելի է խոսել մաթեմատիկական տրամաբանության մասին:
Մաթեմատիկական տրամաբանության հիմնական հասկացությունը ասույթն է: Այդպես են անվանում ցանակացած պատմողական նախադասություն, որի մասին հայտնի է, որ նա կամ ճշմարիտ է կամ՝ կեղծ: Ասույթները կարող են արտահայտվել բառերի, ինչպես նաև մաթեմատիկական, քիմիական և այլ նշաններով:օրինակներ.
1. Մարսն ավելի հեռու է, քան Վեներան: Ճշմարիտ ասույթ
2. 2+6>8 , կեղծ ասույթ
3. 2+6>8, կեղծ ասույթ:
Ոչ ամեն տեսակ նախադասություն է ասույթ:Օրինակ, բացականչական և հարցական նախադասություններն ասույթներ չեն: Ասույթներ չեն նաև սահմանումները: Օրինակ՝ <<Եռանկյան գագաթը հակադիր կողմի միջնակետին միացնող հատվածը կարվում է միջնագիծ>>: Սահմանումները չեն կարող լինել ճշմաիրտ կամ կեղծ, նրանք միայն հաստատում են տերմինների ընդունված օգտագործումը:
Ասույթներ չեն նաև << նա խաժակն է>> կամ <<x2-4x+3=0>> նախադասությունները, նրանցում ցույց չի տրված, թե որ մարդու մասին է խոսքը կամ ո՞ր թվի համար է ճիշտ նշված հավասարությունը:Փոփոխականներով այդպիսի նախադասություններն անվանում են ասույթային ձևեր: Նշենք, որ <<Որոշ մարդիկ խաժակն են>> կամ <<Բոլոր x-երի համար x2-4x+3=0 հավասարությունը ճիշտ է>> նախադասությունն արդեն ասույթ է:Նրանցից առաջինը ճշմարիտ է, իսկ երկրորդը՝ կեղծ:

Նաիրա Ֆրունզիկի Մարտիրոսյան
https://forum.armedu.am/showthread.p...82%D5%B4/page6
https://forum.armedu.am/usercp.php

[Քրիստինե Սերյոգինա]

Հատուկ վերլուծությամբ միշտ էլ կարելի է ցույց տալ սոփեստության տրամաբանական սխալը՝ մեծ մասամբ հասկացությունների գաղտնափոխում բառերի բազմիմաստության չարաշահումով («Եղջյուրավոր» սոփեստության մեջ չկորցնելը մի դեպքում ըմբռնվում է ունեցածը չկորցնելու, մյուս դեպքում՝ առհասարակ, այդ թվում չունեցածը չկորցնելու իմաստով)։ Արիստոտելը սոփեստությունները անվանում էր կարծեցյալ ապացուցումներ և հատուկ աշխատություն է նվիրել դրանց հերքմանը։ Սոփեստությունը պարադոքսից, ապորիայից, անտինոմիայից տարբերվում է նրանով, որ վերջիններիս մեջ առկա է իրական տրամաբանական դժվարություն, մինչդեռ սոփեստության մեջ տրամաբանական դժվարությունը թվացող է։

Հարգելի Լիլիթ հետաքրքրի թեմա եք վարում ։ Մաթեմատիկայում շատ կարևոր է տարրական դասարանում տրամաբանության զարգացումը ։
Արդի կրթական համակարգում ընդհանրապես, տարրական դասարաններում
մասնավորապես բացառիկ տեղ է հատկացվում ուսումնական գործընթացում սովորողների
տրամաբանական մտածողության, ինքնուրույնության և ստեղծագործական մոտեցում ցուցաբերելու,
հաղորդակցական և այլ կարողությունների ձևավորմանը:
Ուստի մերօրյա մանկավարժի խնդիրն է՝ սովորողի համար ստեղծել ուսումնական այնպիսի
միջավայր, որտեղ նա կարողանա ազատ մտածել, իր գործունեությունն ինքնուրույն կազմակերպել,
միևնույն երևույթի վերաբերյալ տարբեր տեսակետներ արտահայտել, այդ երևույթները համեմատել՝
հիմնվելով օրինաչափությունների, օրենքների և փաստերի իմացության վրա, կարողանա սեփական դիտարկումների և ուրիշի փորձի հիման վրա իր կարծիքը ձևակերպել և հիմնավորել: Այս բոլոր
գործընթացներն ուղղված են մի նպատակի՝ բացահայտել անձի մտավոր ներուժը՝ միաժամանակ զարգացնելով նրա մտածողությունը:

[Քրիստինե Սերյոգինա]

Հետաքրքիր թեմա եք առաջարկել, հարգելի՛ ԼԻԼԻԹ: Այստեղ կարծում եմ կարելի է խոսել մաթեմատիկական տրամաբանության մասին:
Մաթեմատիկական տրամաբանության հիմնական հասկացությունը ասույթն է: Այդպես են անվանում ցանակացած պատմողական նախադասություն, որի մասին հայտնի է, որ նա կամ ճշմարիտ է կամ՝ կեղծ: Ասույթները կարող են արտահայտվել բառերի, ինչպես նաև մաթեմատիկական, քիմիական և այլ նշաններով:օրինակներ.
1. Մարսն ավելի հեռու է, քան Վեներան: Ճշմարիտ ասույթ
2. 2+6>8 , կեղծ ասույթ
3. 2+6>8, կեղծ ասույթ:
Ոչ ամեն տեսակ նախադասություն է ասույթ:Օրինակ, բացականչական և հարցական նախադասություններն ասույթներ չեն: Ասույթներ չեն նաև սահմանումները: Օրինակ՝ <<Եռանկյան գագաթը հակադիր կողմի միջնակետին միացնող հատվածը կարվում է միջնագիծ>>: Սահմանումները չեն կարող լինել ճշմաիրտ կամ կեղծ, նրանք միայն հաստատում են տերմինների ընդունված օգտագործումը:
Ասույթներ չեն նաև << նա խաժակն է>> կամ <<x2-4x+3=0>> նախադասությունները, նրանցում ցույց չի տրված, թե որ մարդու մասին է խոսքը կամ ո՞ր թվի համար է ճիշտ նշված հավասարությունը:Փոփոխականներով այդպիսի նախադասություններն անվանում են ասույթային ձևեր: Նշենք, որ <<Որոշ մարդիկ խաժակն են>> կամ <<Բոլոր x-երի համար x2-4x+3=0 հավասարությունը ճիշտ է>> նախադասությունն արդեն ասույթ է:Նրանցից առաջինը ճշմարիտ է, իսկ երկրորդը՝ կեղծ:

Նաիրա Ֆրունզիկի Մարտիրոսյան
https://forum.armedu.am/showthread.p...82%D5%B4/page6
https://forum.armedu.am/usercp.php

Կրտսեր դպրոցական տարիքում ձևավորվում են բազմաթիվ հմտություններ ու կարողություններ,
որոնք սովորողի հետագա գործունեության հիմնաքարն են դառնում: Անժխտելի է, որ ուսուցման
արդյունավետությունն ամենից առաջ պայմանավորված է սովորողների մտավոր ակտիվության մակարդակով: Եթե նրանք չեն ցուցաբերում անհրաժեշտ հետաքրքրություն և ձգտում հաղորդվելիք
տեսական նյութի կամ տրված առաջադրանքի նկատմամբ, գտնվում են պասիվ վիճակում, ապա
ուսուցման արդյունավետության մասին խոսելը դառնում է ավելորդ: Ուստի հարկավոր է
մաթեմատիկայի դասը դարձնել գրավիչ, հետաքրքիր՝ խթանելով սովորողների մտավոր
ակտիվությունը: Ուսումնական գործընթացի ամենադժվար պահերից մեկը հենց դասանյութի
խորությունը աշակերտի համար բացելը և հետաքրքրաշարժ դարձնելն է:

Փորձենք ինքնուրույն վերլուծել հետևյալ սոփեստությունը։
Յոթ ընկերներ սրճարանում սեղան էին պատվիրել։ Բայց թյուրիմացություն է տեղի ունեցել․ սեղան էին պատրաստել 6 հոգու համար, իսկ սրճարանի սրահը լեփ-լեցուն էր։Այնուամենայնիվ մատուցողը գտավ ելք։ Առաջին հյուրին նա նստեցրեց առաջին աթոռին, իսկ նրա կողքին՝ նույն աթոռին խնդրեց ժամանակավորապես նստել նրա ընկերուհուն։ Երրորդին նա աստեցրեց առաջին երկուսի կողքի աթոռին, չորրորդին՝ հաջորդ աթոռին։ Հինգերորդին նա նստեցրեց առաջին երկուսի դիմաց, վոցերորդին՝ նրա կողքի աթոռին։Եվ վերջապես, ազատ մնացած վեցերորդ տեղում նա նստեցրեց առաջին հյուրի ընկերուհուն։ Ի՞նչպես ստացվեց, որ յոթ հոգին տեղավորվոցին վեց աթոռի վրա։

[Միկինյան Տաթևիկ]

Հաճախ սոփեստություն է կոչվում նաև այնպիսի կշռադատությունը, որի մեջ հեղինակը, համոզված լինելով իր թեզիսի կեղծության մեջ, աշխատում է դիմացինին համոզել դրա ճշմարտության մեջ, մոլորության մեջ գցել նրան՝ թաքնված տրամաբանական սխալների կանխամտածված օգտագործումով։ Բուն սոփեստությունն այդպիսի կշռադատություններից տարբերվում է նրանով, որ այն ձևակերպողը նման նպատակ ըստ էության չի հետապնդում, նա, ով մեկին ասում է՝ «Դու եղջյուրներ չես կորցրել, հետևաբար, դու եղջյուրներ ունես», չի ուզում ապացուցել, թե նա իրոք եղջյուրներ ունի, այլ ըստ էության ուզում է ապացուցել, որ դա կարելի է առերևույթ ապացուցել, փաստորեն ցուցադրում է մարդկային մտածողության ճկունությունը։ Ճիշտ է, սկզբնապես բուն սոփեստությունները ևս չարաշահում էին՝ իմաստության տպավորություն թողնելու նպատակով։ Բուն սոփեստությունների տրամաբանական ու իմաստաբանական վերլուծությունը որոշակի նշանակություն ունի լեզվի և մտածողության փոխհարաբերության, հակասությունների արմատների, հասկացությունների ճկունության, ապացուցման որոշ նրբությունների բացահայտման համար։

[Միկինյան Տաթևիկ]

Սոփեստները իսկապես մտքի աճպարարներ էին ,որոնք կարող էին լավ կառուցված միտքը վերջում աղավաղել ՝ կազմելով իրականությանը չհամապատասխանող հետևանք...

Կան շատ սոփեստություններ ,որոնք պահպանվել են մինչև մեր օրերը ...
Օրինակ, «գողի» վերաբերյալ սոփեստությունը հետևյալն է. «Գողը չի ուզում որևէ վատ բան ձեռք բերել:Լավ բանի ձեռքբերումը ՝լավ գործ է,հետևաբար գողը լավն է ցանկանում...»:

Մեկ ուրիշ օրինակ.
«Դեղը ,որը ընդունում է հիվանդը՝ բարի է:Որքան շատ բարություն ,այնքան լավ...ուրեմն դեղը հարկավոր է ընդունել մեծ չափաբաժնով» :

«Նստածը վեր կացավ: Ով վեր կացավ՝ կանգնած է,հետևաբար՝ նստածը կանգնած է» :

«Սոկրատեսը մարդ է...Մարդը նույնը չէ ,ինչ որ Սոկրատեսը ,ուրեմն Սոկրատեսն մի ինչ-որ այլ բան է ,քան Սոկրատեսը »:

Սոփեստները դիտավորյալ խախտում էին տրամաբանական կանոնները ,սովորաբար նրանք քողարկվելով ճշմարիտ դատողությունների ներքո,թույլ էին տալիս միտումանվոր սխալներ ,որի նպատակն էր ամեն գնով շփոթեցնել,ապակողմնորոշել հակառակորդին և խճճելով նրա մտքի ընթացքը՝ բանավեճում հաղթանակ տանել... Առանց այնպիսի «զենքի »,ինչպիսին տրամաբանությունն էր ,վեճի մեջ սոփեստների հակառակորդները հակադրվելու ոչինչ չունեին ,չնայած որ լավ հասկանում էին սոփեստների դատողությունների կեղծավորությունն ու ստությունը...Հին աշխարհում այս տեսակ բանավեճերը շատ հաճախ ավարտվում էին ծեծկռտուքով ...)))
Սոփեստությունը ,չնայած իր բոլոր բացասական կողմերի ,ուներ նաև իր հակառակ ու բավականին հետաքրքիր կողմը:Շատ հաճախ ապացույցի խնդիրը նրանք դնում են թաքնված ձևով :Հենց սոփեստներից սկսվեց ապացույցի ու հերքման ըմբռնումն ու ուսումնասիրությունը՝ապացուցողական մտածողությունը...

Կարո՞ղ է ամենակարող աստված ստեղծել մի բան, որը կոչնչացնի իրեն:
Եթե չի կարող՝ նա ամենակարող չէ:Իսկ եթե կարող է ՝դարձյալ ամենակարող չէ,քանզի ենթակա է ոչնչացման :

Դու չգիտես այն ,ինչ գիտես:

-Գիտե՞ս դու ,թե ինչ եմ ուզում հարցնել քեզ:
-Ոչ:
-Գիտե՞ս արդյոք դու,որ առաքինությունը լավ բան է:
-Գիտեմ:
-Հենց այդ մասին էլ ես ուզում էի հարցնել քեզ:
Իսկ դու,պարզվում է,չգիտես այն ,ինչ գիտես: ))»

Եթե որևէ մեկն ասում է ,որ ինքը ստում է , ստո՞ւմ է արդյոք ,թե՞ ասում է ճշմարտությունը:Ենթադրենք նա ճիշտ է ասում ,կնշանակի ,որ ճիշտ է այն ,որ նա ստում է(որն էլ նա պնդում է) : Ուրեմն ,դուրս է գալիս ,որ ստում է :Եթե նա ստում է ,ուրեմն հենց դա էլ բացեիբաց ընդունում է:
45bf47bee6291433d1103629d30ec28a.jpg

[Kristine Charchyan]

Մաթեմատիկական սոփեստությունը սխալ պնդում է, որին տրվում է սխալ ապացույց: Ամբողջ պրոբլեմը նրանում է, թե ոնց որոշենք թե ապացույցի որ կետն է սխալ:

[Kristine Charchyan]

Գյուղի վարսավիրը սափրում է բոլոր նրանց ովքեր իրենք իրենց չեն սափրում:
Հարց-գյուղի վարսավիրը ինքն իրեն սափռում է թե ոչ:
Ահա մեկ սոփեստություն։

[Arevik Tumasyan]

Պլատոնի ու Սոկրատեսի պարադոքսը
Պլատոն.
-Սոկրատեսի հաջորդ հայտարաությունը կեղծ կլինի:
Սոկրատես.
-Այն ,ինչ ասաց Պլատոնը,ճշմարիտ է:

[Kristine Charchyan]

Սոկրատեսը միշտ հակադրվում էր սոփեստներին ,համարում նրանց պարծենկոտ «գիտունիկներ» ,որոնք օգտագործելով տրամաբանական մեթոդներ, ապացուցում են այն ճշմարտությունը ,որը հենց նոր վճռաբար մերժել էին...
Ըստ Սոկրատեսի գիտելիքը փոփոխական է...ժամանակի ընթացքում մարդիկ հաճախ են մերժում այն,ինչին հավատացել են...հետևաբար ,բացարձակ ճշմարտությունը հասանելի չէ մարդուն ,և այն միայն բարձրագույն ուժերի սեփականությունն է...

[Լիլիթ Հակոբջանյան]

Տրամաբանական սխալներ, սխալներ, որոնք առաջանում են մտածողության պրակտիկայում որպես տրամաբանական օրենքների ու կանոնների խախտման դրսևորումներ, հակադրվում են փաստական սխալներին, ինչպես որ տրամաբանական ճշմարտությունն է հակադրվում փաստական ճշմարտությանը։ Լինում են չկանխամտածված (պարալոգիզմներ) և կանխամտածված (սոփեստաբանություն, սոփեստություն)։

Տրամաբանական սխալները լինում են ապացուցման կամ հերքման մեջ՝ կապված դրանց հիմքերի (փաստարկների), թեզիսի և փաստարկման հետ, ինչպես նաև մտահանգման, սահմանման, տրամա բանական բաժանման մեջ և այլն։ Ապացուցման հիմքերի հետ կապված տրամաբանական սխալներ են՝ ինքնին կեղծ փաստարկի օգտագործումը (կոչվում է «հիմնական մոլորություն», լատ.՝ error fundamentalis), չապացուցված փաստարկի օգտագործումը։ Վերջինիս մասնավոր դեպքն է հիմքի կանխարկումը (petitio principii), երբ որպես հիմք օգտագործվում է մի դատողություն, որի ճշմարտությունը ենթադրում է թեզիսի ճշմարտությունը։

[Լիլիթ Հակոբջանյան]

Հատուկ վերլուծությամբ միշտ էլ կարելի է ցույց տալ սոփեստության տրամաբանական սխալը՝ մեծ մասամբ հասկացությունների գաղտնափոխում բառերի բազմիմաստության չարաշահումով («Եղջյուրավոր» սոփեստության մեջ չկորցնելը մի դեպքում ըմբռնվում է ունեցածը չկորցնելու, մյուս դեպքում՝ առհասարակ, այդ թվում չունեցածը չկորցնելու իմաստով)։ Արիստոտելը սոփեստությունները անվանում էր կարծեցյալ ապացուցումներ և հատուկ աշխատություն է նվիրել դրանց հերքմանը։ Սոփեստությունը պարադոքսից, ապորիայից, անտինոմիայից տարբերվում է նրանով, որ վերջիններիս մեջ առկա է իրական տրամաբանական դժվարություն, մինչդեռ սոփեստության մեջ տրամաբանական դժվարությունը թվացող է։

Հետաքրքիր թեմա եք առաջարկել, հարգելի՛ ԼԻԼԻԹ: Այստեղ կարծում եմ կարելի է խոսել մաթեմատիկական տրամաբանության մասին:
Մաթեմատիկական տրամաբանության հիմնական հասկացությունը ասույթն է: Այդպես են անվանում ցանակացած պատմողական նախադասություն, որի մասին հայտնի է, որ նա կամ ճշմարիտ է կամ՝ կեղծ: Ասույթները կարող են արտահայտվել բառերի, ինչպես նաև մաթեմատիկական, քիմիական և այլ նշաններով:օրինակներ.
1. Մարսն ավելի հեռու է, քան Վեներան: Ճշմարիտ ասույթ
2. 2+6>8 , կեղծ ասույթ
3. 2+6>8, կեղծ ասույթ:
Ոչ ամեն տեսակ նախադասություն է ասույթ:Օրինակ, բացականչական և հարցական նախադասություններն ասույթներ չեն: Ասույթներ չեն նաև սահմանումները: Օրինակ՝ <<Եռանկյան գագաթը հակադիր կողմի միջնակետին միացնող հատվածը կարվում է միջնագիծ>>: Սահմանումները չեն կարող լինել ճշմաիրտ կամ կեղծ, նրանք միայն հաստատում են տերմինների ընդունված օգտագործումը:
Ասույթներ չեն նաև << նա խաժակն է>> կամ <<x2-4x+3=0>> նախադասությունները, նրանցում ցույց չի տրված, թե որ մարդու մասին է խոսքը կամ ո՞ր թվի համար է ճիշտ նշված հավասարությունը:Փոփոխականներով այդպիսի նախադասություններն անվանում են ասույթային ձևեր: Նշենք, որ <<Որոշ մարդիկ խաժակն են>> կամ <<Բոլոր x-երի համար x2-4x+3=0 հավասարությունը ճիշտ է>> նախադասությունն արդեն ասույթ է:Նրանցից առաջինը ճշմարիտ է, իսկ երկրորդը՝ կեղծ:

Նաիրա Ֆրունզիկի Մարտիրոսյան
https://forum.armedu.am/showthread.p...82%D5%B4/page6
https://forum.armedu.am/usercp.php

Շնորհակալություն հարգելի Նաիրա թեմայի քննարկմանը միանալու համար,շնորհակալություն կարևոր տեղեկատվության համար:

[Անահիտ Պետրոսյան]

Իմաստակություն,Սոփեստություն, սոֆիզմ (հին հուն․՝ σοφιστής, σόφισμα - հմտություն, խորամանկություն, հորինվածք), հին հունական որոշ մտածողների (Եվբուլիդես, սոփեստներ) կառուցած (նմանողությամբ մինչև այժմ էլ կառուցվող) հատուկ կարգի կշռադատություններ, որոնց մեջ առկա է թաքնված տրամաբանական սխալ, և առերևույթ բխում են կանխահայտորեն կեղծ կամ հակասական մտքեր։ Օրինակ՝ «Դու ունես այն, ինչ չես կորցրել, դու եղջյուրներ չես կորցրել, հետևաբար, դու եղջյուրներ ունես» (Եվբուլիդեսի «Եղջյուրավոր» սոփեստություն), «Ուսանողը որքան շատ է պարապում, այնքան շատ է իմանում, որքան շատ է իմանում, այնքան շատ է մոռանում, որքան շատ է մոռանում, այնքան քիչ է իմանում, հետևաբար, որքան շատ է պարապում, այնքան քիչ է իմանում», կամ՝ «․․․որքան շատ է իմանում, այնքան քիչ է իմանում» (ժամանակակից սոփեստություն)։

Մի ամերիկացի ֆերմեր իր ծանոթ կրպակատիրոջը տվեց60 խնձոր, որպեսզի նա դրանք վաճառի 5 հատը 2 դոլարով։Այդպիսով նա հույս ուներ ստանալ 12 ⋅ 2 = 24 դոլար։Կրպակատերը տեսակավորեց խնձորները՝ բաժանելովդրանք լավ և արտակարգ խնձորների, յուրաքանչյուրխմբում՝ 30 խնձոր։ Լավ խնձորները նա վաճառում էր 3 հատը1 դոլարով, իսկ արտակարգները՝ 2 հատը 1 դոլարով։Վաճառելով բոլոր խնձորները՝ նա ստացավ 10 + 15 = 25դոլար։ Որտեղի՞ց հայտնվեց ավել 1 դոլարը, եթե խնձորներըվաճառվում էին ֆերմերի հաստատած գնով՝ 5 խնձորը 2դոլարով (3 խնձորը՝ 1 դոլար, և 2-ը՝ ևս 1 դոլար)։ Այս սոփեստությունը պարզաբանելու համար դիտարկենք նկարները։ Տեսնում ենք, որ 5 խընձորներից կազմված բոլոր խմբերը չեն, որ վաճառվել են 2-ական դոլարով։ Կրպակատիրոջ տարբերակում դրանք կազմված են միայն արտակարգ խնձորներից և այդ պատճառով վաճառվել են ավելի թանկ՝ 10 հատը 5 դոլարով, այսինքն՝ 5 հատը 2,5 դոլարով։

[Լիլիթ Հակոբջանյան]

Մի քանի բնորոշ սխալները և դրանց պատճառները

Միջնակարգ դպրոցի աշակերտների գիտելիքները մաթեմատիկայի որոշ չափով բարելավվում է, սակայն դեռևս չի բավարարում բոլոր պահանջներին, որոնք ներկայացնում են ժամանականկից դպրոցը: Աշակերտները չեն տիրապետում անհրաժեշտ գիտելիքների, որ բացահաըտեն ուսումնասիրվող խնդիրների կապը: Չեն կարողանում կատարել անհչաժեշտ եզրահանգումներ և ընդհանրացումներ մաթեմատիկական դատողություններում, չե ընկալում խնդիրների լուծման իրական իմաստը, դժվարանում են բերել խնդրի վերաբերյալ համապատասխան օրինակներ, իվիճակի չեն բացատրել, ինչ նշանակություն ունի ուսումնասիրվող հարցը մաթեմատիկայի դասընթացում և իրական կյանքում: Մեծ մասամբ աշակերտներն դժվարությունների նշում են հանրահաշվի, եչկրաչափության , եռանկյունաչափական տարբեր բանաձևեր , բայց դժվարանում են բնութագրել բանաձևի մեջ մտնող մեծությունները և կիրառել դրան խնդիրների լուծման ժամանակ: Սովորաբար աշակերտները կարողանում են պատասխանել հարցերին այնպես, ինչպես դրանք ձևակերպված են գրում, բայց դժվարանում են պատասխանել այդ նույն հարցին, եթե այն ձևկերպվում է ուրիշ ձևով: Խնդիրների լուծման ժամանակ կատարված նշումները, գործողությունները, ձևափոխությունները ոչ միշտ են կատարվում ճիշտ, հաջորդաբար և ռացիոնալ: Սովորողները հաճախ թույլ են տալիս սխալներ զանազան գործողություններ և ձևափոխություններ և ձևափոխություններ կտարելու ընթացքում, որոն շատ են խանգարում հետագա մաթեմատիկական հաշվարկներին: Այդ սխալները <<մաթեմատիկական>> վտանգ են ներկայացնում նրանց համար, ովքեր սխալվում են և և նրանց համար ովքեր դրանք լսում են: