Հետաքրքրաշարժ մաթեմատիկա. տրամաբանական խնդիրներ, գլուխկոտրուկներ

[Իրինա]

Առաջին հյուրին կտա 4, իսկ երկրորդին 2 խնձոր:

[petros59]

Առայժմ ֆորումում աշակերտների ակտիվություն չեմ նկատում (խնդիրներ լուծելը նկատի չունեմ):
Բայց որ կարևորում եք, մի խնդիր էլ ես առաջարկեմ:

Խնդիր:

Հնարավո՞ր է միայն երկու գույն օգտագործելով հարթությունը ներկել այնպես, որ միավոր երկարությամբ ցանկացած հատվածի ծայրակետերը ներկված լինեն տարբեր գույներով: Պատասխանը հիմնավորել:

Քանի որ արձակուրդներ են, աշակերտների ակտիվության հույս չկա: Ստիպված մենք եմք զբաղվելու: Գեղեցիկ խնդիր է, չեմ ցանկանում խանգարել մտածողներին, ուղղակի հիշենք, որ Դիրիխլեն ունի շատ լավ սկզբունք:

[manush]

Ժողովուրդ բերեք թեմայից չշեղվենք:
Այստեղ տեղադրենք մաթեմատիկական ֆոկուսներ, զվարճալիքներ,խաղեր, հետաքրքիր նյութեր ...
Գլուխկոտրուկներ, հետաքրքրաշարժ խնդիրներ տեղադրելու համա ստեղծենք նոր թեմա:
Համաձայն եմ, որ այմ շատ օգտակար կլինի աշակերտների համար (ինչու չէ նաւ մեզ համար):

Հարգելի գործընկեր, ես առաջարկում եմ Ձեր նոր բացած թեման (թեմայի գրառումները) տեղափոխել այստեղ, քանի որ Ձեր բոլոր թվարկածներն էլ (այդ թվում՝ խնդիրները) հետաքրքրաշարժ մաթեմատիկայի տարրեր են։ Երբ որ թեման շատ կծավալվի ու կառաջանա տարանջատելու անհրաժեշտություն, այդ ժամանակ կդիմենք ֆորումի ադմինիստրատորին՝ առանձնացնելու խնդրանքով։

[petros59]

Առաջին հյուրին կտա 4, իսկ երկրորդին 2 խնձոր:

Իրինա ջան բա էն 3 խնձորը որտե՞ղ էս տեղավորում:

[Իրինա]

Իրեն կպահի: Ինքն էլ չէ՞ պիտի ուտի:

Իսկ եթե իրեն չպիտի պահի, ուրեմն 5-ը կտա առաջինին, իսկ 4-ը երկրորդին:

[sokrat]

Հարգելի Իրինա և Գագո, խնձորները պետք է բաժանել հետևյալ ձևով. առաջինին տալ 6 խնձոր, իսկ երկրորդին` 3 խնձոր:

Ահա լուծումը:
Երեք հոգու տաքանալու համար օգտագործվել է 18 փայտ: Դա նշանակում է, որ յուրաքանչյուրի ներդրումը պետք է լիներ 6 փայտ:
Երրորդն իր բաժին 6 փայտի փոխարեն պատրաստ է վճարել 9 խնձոր: Ուրեմն, մեկ փայտը գնահատվել է 1,5 խնձոր:
Փաստորեն, նա առաջինից գնում է 4 փայտ, իսկ երկրորդից` 2 փայտ: Հետևաբար` առաջինը պետք է ստանա 4*1,5=6 խնձոր, իսկ երկրորդ` 2*1,5=3 խնձոր:

[sokrat]

Ես մի պահ տեսա, որ ընդունելով իմ լուծումը, այստեղ հարց էր բարձրացվել, որ "խնդրի պայմանները հեղեղուկ են և այլ ձևով բաժանում էլ կարելի է լուծում համարել":
Մինչ ես կփորձեի պատասխանել գրառումը ջնջվեց:
Մտածելով, որ էլի մարդկաց մոտ կասկածներ կարող են առաջանալ, առավել ևս, որ իմ պատասխանի տեքստն էլ պատրաստ էր, որոշեցի ներկայավցնել:

Բանն այն է, որ “արդարությունը” մաթեմատիկական կատեգորիա չէ:
Լավ կլիներ, որ Պետրոսը գրած լիներ ոչ թե “Ինչպիսի՞ համամասնությամբ պետք է բաժանի խնձորները հյուրերի միջև, որ արդար լինի” այլ
Ինչպիսի՞ համամասնությամբ պետք է բաժանի խնձորները հյուրերի միջև, որ բոլորը ունենան հավասար ներդրում:

Մյուս սկողմից էլ պատկերացրեք, որ խնդիրը ուներ այսպիսի տեքստ.
Երեք ընկերներ գնացել էին հանգստանալու: Նրանցից մեկը գնել էր ինքնաթիռի երեք տոմս, որոնք միասին արժեին 1000 դոլար, մյուսը վճարել է երեքի սնունդի և հյուրանոցի համար, որը կազմել է 800 դոլար: Երբ վերադառնան Հայաստան, ծախսեր չարած ընկերը ծախսեր արածներից որին ինչքա՞ն գումար պիտի տա:

Կարծում եմ այսպիսի ձևակերպման դեպքում գրեք, որ "լինի արդար" կամ գրեք, որ "բոլորը նույն չափով ծախսած լինեն", արդեն կարևոր չէր լինի:
Բոլորն էլ կհանաձայնվեն, որ առաջինին պետք է տա 400, իսկ երկրորդին 200 դոլար:

Չնայած կարող է մեկն էլ ասի. Ինչ փողի վերադարձի մասին եք խոսում: Ընկերներ են, մի օր էլ սա տեղը կհանի:

[Chuk]

Այո, ես էի գրել, մեղքս ինչ թաքցնեմ: Գրառումս ուներ հետևյալ տեսքը.

Գրառմանս մեջ ասել էի, որ 5,4-ն էլ է խնդրի լուծում, քանի որ «արդար»-ը հեղհեղուկ հասկացություն է: Հիմնավորել էի այսպես, որ եթե դիտարկենք, արդարությունն այն է, որ յուրաքանչյուրին տրվի համամասնորեն այնքան խնձոր, որքան որ տվյալ մարդը փայտ է բերել (իսկ նրանք բերել էին 5x՝ առաջինը, 4x՝ երկրորդը և 0x` երրորդը), ապա կստացվեր առաջինին 5y խնձոր, երկրորդին 4y և երրորդին 0y, իսկ պարզագույն հավասարումը լուծելով կստանայինք 5 խնձոր, 4 խնձոր և ոչ մի խնձոր:

Ինչևէ, լուծումս գրելուց ու հարցնելուց հետո, թե ինչո՞վ է հակասում այս տարբերակը խնդրին և ինչո՞վ է ավելի վատ լուծում, քան Ձեր առաջարկածը, որոշեցի համենայն դեպս խնդիրը ևս մեկ անգամ վերընթերցել: Վերընթերցելով նկատեցի, որ մի «նուրբ» պահ բաց եմ թողել: Պետրոսը խնդրի ձևակերպման մեջ գրել էր. «այդ պատճառով դարակից հանում է 9 խնձոր, որ տա հյուրերին»: «Որ տա հյուրերին», այլ ոչ թե «որ բաժանի բոլորի միջև»: Իսկ դա նշանակում էր, որ իմ տարբերակը խնդրի լուծում չէ, քանի որ խնդիրը լուծելուց, ավելի ճիշտ խնձորները բաժանելուց տանտիրոջը հաշվի առնել պետք չէր: Ապա նայելով ու տեսնելով որ թեմա ոչ մեկը չի մտել, որոշեցի գրառումս ջնջել՝ թեման իզուր չերկարացնելու համար (ինչ իմանայի, որ ամեն դեպքում այդ կարճ ժամանակում հասցրել եք տեսնել ):

Բայց միևնույն է, շարունակում եմ համարել, որ այս ձևակերպման դեպքում 5-ն ու 4-ն այնուամենայնիվ լուծում է, եթե ենթադրում ենք, որ որպես շնորհակալության նշան տանտերը համամասնորեն այնքան խնձոր է տալիս հյուրերից յուրաքանչյուրին, որքան փայտ է բերել հյուրը: Չէ որ խնդրի պահանջների մեջ նշված չէ, որ հենց 18-ն է բավարարում տունը տաքացնելուն, որ նրանցից յուրաքանչյուրը պետք է ներդրում ունենար: Եվ ի վերջո տանտերը նաև վառարանի ներդրում ունի, տան ներդրում ունի: Այսինքն ես կարծում եմ (խնդրի առաջարկված լուծումը լիարժեք հասկանալով ու ընդունելով), որ խնդրի առաջարկված ձևակերպումը հստակ չի, միանշանակ չի, բավարար չի խնդիրը միարժեք լուծելու համար: Ձեր առաջարկված մյուս տարբերակները առավել հստակ ու միարժեք են

[sokrat]

Կարող էիք և չգրել, եթե ջնջել էիք, ուրեմն վերջ:
Բռնեցնելու հարց չկա:
Ես մյուսների, հատկապես երեխաների համար Էդքան մանրամասնեցի:
Ուսուցչի մասնագիտական թուլություն է:

[Իրինա]

Հարգելի Չուկ: 5 և 4 պատասխաններ ես էլ էի տվել և , նույնիսկ Ձեզնից առաջ, բայց այդպես էլ չհասկացա Սոկրատի և Ձեր տարօրինակ երխոսությունը: Այպիսի տպավորություն է, որ դուք իմ գրածը չեք տեսել:

[Chuk]

Հարգելի Չուկ: 5 և 4 պատասխաններ ես էլ էի տվել և , նույնիսկ Ձեզնից առաջ, բայց այդպես էլ չհասկացա Սոկրատի և Ձեր տարօրինակ երխոսությունը: Այպիսի տպավորություն է, որ դուք իմ գրածը չեք տեսել:

Իմ գրառման իմաստն այն էր, որ Ձեր տված պատասխանը ևս ճիշտ եմ համարում (խնդրի տվյալ ձևակերպման դեպքում, ու հիմնավորել եմ թե ինչու), չեմ մտածել, որ եթե մի քանի գրառում վերևում Ձեր գրառումը պահպանված է ու ամենքը տեսնում են, պարտադիր էր նշել Ձեր անունը

[sokrat]

Հարգելի Իրինա
Տեսել ենք, տեսել:
Բա ես գրել էի չԷ՞, որ Դուք էլ, Գագոն էլ սխալ պատասխան եք տվել:

Իսկ մեր “տարօրինակ երկխոսությունը” անպայման չէ, որ հասկանաք:

Դուք լուծեք “Երեք հանգստացող ընկերների խնդիրը” (իմ գրառման մեջ եղած): Դա հաստատ ճիշտ կլուծեք ու կհասկանաք նախորդի լուծման Ձեր սխալը:

[Tatev*]

Բա ես գրել էի չԷ՞, որ Դուք էլ, Գագոն էլ սխալ պատասխան եք տվել:

Իսկ մեր “տարօրինակ երկխոսությունը” անպայման չէ, որ հասկանաք:

Դուք լուծեք “Երեք հանգստացող ընկերների խնդիրը” (իմ գրառման մեջ եղած): Դա հաստատ ճիշտ կլուծեք ու կհասկանաք նախորդի լուծման Ձեր սխալը:

Հարգելի' Sokrat,
Ես համաձայն եմ Իրինայի ու Չուկի հետ, նրանց լուծումն էլ կյանքի իրավունք ունի:
petros59-ի առաջարկած խնդրի լուծում կարող է լինել նաև 5 և 4 խնձորը:

Ահա. տուն բերվել է 10+8=18 կտոր փայտ, որում 1-ին հյուրի ներդրումը` 10/18 է, իսկ 2-րդ հյուրի տեսակարար ներդրումը` 8/18:
Հետևաբար 9 խնձորից 1-ին հյուրին հասնում է` 9*10/18=5 խնձոր, իսկ 2-րդին` 9*8/18=4 խնձոր:

Ձեր ձևակերպած խնդրի դեպքում 400 և 200 դոլլար ակնհայտ է: Ես կարծում եմ, որ Ձեր առաջարկած խնդիրը սկզբնական խնդրի մոտիվներով այլ խնդիր է, որպեսզի համարժեք լինի եկեք ենթադրենք, որ պարտք մնացած ընկերը իր պարտքը տալիս է այլ արժույթով, որով իր բաժին գումարը կազմում է 900 միավոր: Այսպիսով` ընկերներից մեկին նա պարտք է 400, մյուսին` 200 դոլլար, հետևաբար 1-ին նա կտա 900*400/600=600, իսկ երկրորդին` 900*200/600=300 միավոր:
Մինչդեռ petros59-ի խնդրում տանտիրոջ տուն բերված փայտի տված տաքության մեջ հյուրերի ներդրումը 10/18 և 8/18 է: Այսպիսով տանտիրոջ տունն է տաքացել և նա պետք է 2ին էլ փոխհատուցեր խնձորով, ոչ թե միայն իր բաժին 6 փայտի դիմաց: Միով բանիվ Ձեր խնդրում ընկերը փոխհատուցում է իր բաժին 600 դոլլարը, որի հաշիվը նրանց ներկայացրել են ճամփորդության ժամանակ, իսկ տանտերը փոխհատուցում է իր տուն բերած տաքության համար:

Բոլորովին էլ պետք չէ petros59-ի խնդիրը վերաձևակերպել: Յուրաքանչյուր խնդիր իր պայմաններով է նախորոշում լուծումը ու և' մաթեմատիկայում, և' ֆիզիկայում, և' կյանքում լիքն են խնդիրները բազմաթիվ լուծումներով, նույնիսկ անվերջ թվով լուծումներով: Օրինակ` այդպիսի մի խնդրի /խոսքը Դիրակի հավասարման մասին է/ շնորհիվ էլ հայտնագործվել է նախ պոզիտրոնը, ապա մյուս տարրական մասնիկների հակամասնիկները:
Միայն թե կյանքում չմոռանանք և ուշադիր լինենք, որ ընտրենք լուծումներից լավագույնը ու ազնիվը:

[Tatev*]

Հնարավո՞ր է միայն երկու գույն օգտագործելով հարթությունը ներկել այնպես, որ միավոր երկարությամբ ցանկացած հատվածի ծայրակետերը ներկված լինեն տարբեր գույներով: Պատասխանը հիմնավորել:

Հարգելի sokrat, խնդրում եմ մի քիչ պարզաբանեք, թե ծայրակետ ասելով ինչ ի նկատի ունեք, ի վերջո կետը մակերես չունի, որ ներկվի:
Օրինակ` հարթությունը ծածկենք հավասարակողմ եռանկյուններով, այնպես, որ միավոր երկարությունը պատիկ լինի կողմին, ապա դրանք մեկումեջ ներկենք: Պատկերացնենք, որ միավոր հատվածը դրված է եռանկյունիների որևէ գագաթից կողմի երկայնքով: Այժմ ինչ գույնով են ներկված կանոնավոր վեցանկյունների կենտրոններըը` եռանկյունիների գագաթները: Միանշանակ չես կարող պատասխանել:

Իսկ ընդհանրապես ասեմ, որ ոչ, իմ կարծիքով հնարավոր չէ: Որպեսզի հարթությունը ծածկվի ներկով այն պետք է բաժանել ինչ-որ բազմանկյունների և մեկումեջ ներկել, իսկ այդ դեպքում ինչպիսին էլ վերցնես միավոր երկարությունը միշտ էլ հնարավոր է միավոր երկարությամբ հատվածն այնպիսի դիրքում դնել, որ ծայրակետերը գտնվեն միևնույն գույնով ներկված տեղանքներում:

[sokrat]

Հարգելի Tatev*, իսկ ի՞նչ եք կարծում կարելի է ներկել կոորդինատների սկզբնակետում կենտրոն ունեցող միավոր շրջանը (այն մակերես ունի):